統計第 11 章 · 題目示範與上手

這頁的定位：投影片建立了地圖與公式，PDF 講義是學完整內容的主體；這頁則是「看完 PDF 一個重點後」的題目完整解法示範 + 上手練習。每題先給題目，再寫出假設檢定八步驟的完整解法，最後附一段可改可跑的 scipy.stats 驗算讓你動手。

提示：第一次按「執行」會載入 Python 與 numpy／scipy（約數十秒），之後就很快，需連網。範例不使用 input()。

第 1 節獨立樣本平均數差 Independent Samples

先回想（細節在 PDF §3）

σ 已知用 Z；σ 未知先看 S₁/S₂：落在 [½, 2] 用聯合 t，否則用非聯合 t。下面兩題各示範一種。

例題 11.1（聯合 t，雙尾）

題目

比較「直接購買基金」與「委託經紀人購買」兩種方式的年報酬率是否不同。兩組各隨機抽 50 戶（獨立樣本）：直接購買 X̄₁ = 6.63、S₁² = 37.49；委託經紀人 X̄₂ = 3.72、S₂² = 43.34。取 α = 0.05。

完整解法（八步驟）

先判變異數：S₁/S₂ = √(37.49 / 43.34) = 0.93，落在 [½, 2] → 視為等變異 → 用聯合 t（雙尾）。

H₀：μ₁ = μ₂（兩種方式報酬率相同）
H₁：μ₁ ≠ μ₂（雙尾）
檢定統計量 T = (X̄₁ − X̄₂) / √(Sp²(1/n₁ + 1/n₂))
α = 0.05
拒絕域 R = { |T| ≥ t₀.₀₂₅, ₉₈ ≈ 1.984 }
代值：Sp² = [49·37.49 + 49·43.34] / 98 = 40.42；T = (6.63 − 3.72) / √(40.42·(1/50 + 1/50)) = 2.29
2.29 落在 R → Reject H₀
結論：α = 0.05 下有充分證據說「直接購買」的報酬率顯著高於「委託經紀人」。

信賴區間：(6.63 − 3.72) ± 1.984·√(40.42(1/50+1/50)) = (0.39, 5.43)，不含 0，與「拒絕 H₀」一致。

▶ 上手驗算改數字重跑，對照上面的 t 與臨界值

from scipy import stats
import math

n1 = n2 = 50
xbar1, s1sq = 6.63, 37.49
xbar2, s2sq = 3.72, 43.34

ratio = math.sqrt(s1sq / s2sq)              # S1/S2 判斷等變異
print("S1/S2 =", round(ratio, 3), "→", "聯合 t" if 0.5 <= ratio <= 2 else "非聯合 t")

Sp2 = ((n1-1)*s1sq + (n2-1)*s2sq) / (n1+n2-2)
res = stats.ttest_ind_from_stats(xbar1, math.sqrt(s1sq), n1,
                                 xbar2, math.sqrt(s2sq), n2, equal_var=True)
tcrit = stats.t.ppf(0.975, n1+n2-2)
print("Sp^2 =", round(Sp2, 2))
print("t =", round(res.statistic, 3), " 臨界 t(0.025,98) =", round(tcrit, 3))
print("雙尾 p =", round(res.pvalue, 4))
print("結論：", "拒絕 H0" if abs(res.statistic) > tcrit else "不拒絕 H0")

例題 11.2（非聯合 t，雙尾）

題目

家族企業由「子女」或「外部人士」擔任 CEO，對營業收入成長率是否有不同影響。子女 n₁ = 42、X̄₁ = −0.1、S₁² = 3.79；外部 n₂ = 98、X̄₂ = 1.24、S₂² = 8.03。兩母體變異數不相等，α = 0.05。

完整解法（八步驟）

變異數不等 → 用非聯合 t，自由度走 Satterthwaite。

H₀：μ₁ = μ₂
H₁：μ₁ ≠ μ₂（雙尾）
T = (X̄₁ − X̄₂) / √(S₁²/n₁ + S₂²/n₂)
α = 0.05
ν = (3.79/42 + 8.03/98)² / [ (3.79/42)²/41 + (8.03/98)²/97 ] ≈ 111；R = { |T| ≥ t₀.₀₂₅, ₁₁₁ ≈ 1.982 }
代值：T = (−0.1 − 1.24) / √(3.79/42 + 8.03/98) = −3.22
|−3.22| ≥ 1.982 → Reject H₀
結論：有充分證據說子女與外部人士擔任 CEO 對營收成長有顯著不同。

信賴區間：(−0.1 − 1.24) ± 1.982·√(3.79/42 + 8.03/98) = (−2.16, −0.52)，全為負。

▶ 上手驗算 equal_var=False 自動用 Satterthwaite 自由度

from scipy import stats
import math

res = stats.ttest_ind_from_stats(mean1=-0.1, std1=math.sqrt(3.79), nobs1=42,
                                  mean2=1.24, std2=math.sqrt(8.03), nobs2=98,
                                  equal_var=False)
print("t =", round(res.statistic, 3))
print("雙尾 p =", round(res.pvalue, 4))
print("結論：", "拒絕 H0" if res.pvalue < 0.05 else "不拒絕 H0")

小主題測驗卷 · 4 題（達 90% 放行）

Q1兩獨立樣本、σ 未知，算得 S₁/S₂ = 0.93，應該用哪個檢定？

Z 檢定聯合 t 檢定（ν = n₁+n₂−2）非聯合 t 檢定（Satterthwaite）

聯合 t。S₁/S₂ = 0.93 落在 [½, 2]，視為等變異。

Q2聯合 t 檢定的自由度是？

n₁ + n₂ − 2 n − 1 n₁ + n₂ − 1

n₁ + n₂ − 2。兩組自由度之和。

Q3兩母體標準差 σ₁、σ₂ 已知時，用哪個檢定？

Z 檢定聯合 t 檢定非聯合 t 檢定

Z。σ 已知直接標準化為標準常態。

Q4聯合與非聯合 t 的關鍵差別在哪？

假設的方向（單尾 / 雙尾）顯著水準 α 的大小標準誤算法與自由度

標準誤與自由度。聯合用 √(Sp²(1/n₁+1/n₂))、ν=n₁+n₂−2；非聯合用 √(S₁²/n₁+S₂²/n₂)、Satterthwaite ν。

第 2 節成對樣本平均數差 Matched Pairs

先回想（細節在 PDF §4）

令每對差異 dᵢ = Xᵢ − Yᵢ，檢定 μ_D 是否為 0，回到單母體 t 檢定；自由度 n−1。

例題 11.5／11.6（右尾 + 信賴區間）

題目

想比較「財務」與「行銷」主修畢業生的起薪。為控制能力差異，以 GPA 區間配對選 25 對學生（每對一財務、一行銷）。令 dᵢ = 財務 − 行銷，算得 n = 25、d̄ = 5065、S_D = 6647。α = 0.05，檢定財務起薪是否高於行銷；並求 μ_D 的 95% 信賴區間。

完整解法（八步驟）

以 GPA 配對 → 成對樣本 → μ_D = μ₁ − μ₂，自由度 n − 1 = 24。

H₀：μ_D = 0
H₁：μ_D > 0（右尾，財務 > 行銷）
T = (d̄ − 0) / (S_D/√n)，df = 24
α = 0.05
R = { T ≥ t₀.₀₅, ₂₄ = 1.711 }
代值：T = 5065 / (6647/√25) = 3.81
3.81 ≥ 1.711 → Reject H₀
結論：有充分證據支持財務主修起薪高於行銷。

例 11.6 信賴區間：μ_D 的 95% CI = 5065 ± t₀.₀₂₅,₂₄·S_D/√n = 5065 ± 2.064·6647/√25 = (2321, 7809)，全為正。

▶ 上手驗算成對 t 與 95% 信賴區間

from scipy import stats
import math

dbar, sd, n = 5065, 6647, 25
df = n - 1
t = (dbar - 0) / (sd / math.sqrt(n))
tcrit_r = stats.t.ppf(0.95, df)        # 右尾 α=0.05
print("t =", round(t, 3), " 臨界 t(0.05,24) =", round(tcrit_r, 3))
print("右尾結論：", "拒絕 H0（財務 > 行銷）" if t > tcrit_r else "不拒絕 H0")

tci = stats.t.ppf(0.975, df)           # 雙尾 95% CI
half = tci * sd / math.sqrt(n)
print("95% CI =", (round(dbar - half), round(dbar + half)))

小主題測驗卷 · 4 題（達 90% 放行）

Q125 對成對資料做 t 檢定，自由度是多少？

48（= n₁+n₂−2） 24（= n−1，n 為對數） 50

24 = n − 1。n 為對數，不是 n₁+n₂−2。

Q2成對 t 檢定的標準誤是？

√(Sp²(1/n₁+1/n₂)) S_D / √n √(S₁²/n₁ + S₂²/n₂)

S_D/√n。先求差異 d，再對 d 做單母體 t。

Q3下列何者屬於成對樣本設計？

把對象隨機分成不相關兩組同一人前後測，或依條件配對兩組樣本數相等

前後測或配對。同一對高度相關，看差異 d。

Q4配對成功的主要好處是？

抵消個體間大變異，檢定更靈敏自由度變大不需假設常態

抵消個體變異、更靈敏。代價是自由度只剩 n−1。

第 3 節變異數比值 F 檢定 F-test

先回想（細節在 PDF §5）

研究參數是比值 σ₁²/σ₂²；F = S₁²/S₂² ~ F(n₁−1, n₂−1)。左尾用倒數性質。

例題 11.7（右尾）

題目

兩部飲料充填機器，想知道第二部是否比第一部更一致（充填量變異更小）。各取 25 瓶（兩常態母體），s₁² = 0.6333、s₂² = 0.4528，α = 0.05。

完整解法（八步驟）

「第二部更一致」即 σ₂² < σ₁²，等價檢定 σ₁² > σ₂²（右尾）。

H₀：σ₁² ≤ σ₂²
H₁：σ₁² > σ₂²（右尾）
F = S₁² / S₂²，自由度 (n₁−1, n₂−1) = (24, 24)
α = 0.05
R = { F ≥ F₀.₀₅(24, 24) = 1.98 }
代值：F = 0.6333 / 0.4528 = 1.40
1.40 不落在 R → Do not reject H₀
結論：無充分證據支持第二部機器充填較一致。

變異數比值 95% CI：(0.62, 3.17)，包含 1，與雙尾「不拒絕 σ₁²=σ₂²」一致。

▶ 上手驗算 F 統計量、臨界值，並驗證倒數性質

from scipy import stats

s1sq, s2sq = 0.6333, 0.4528
n1 = n2 = 25
F = s1sq / s2sq
fcrit = stats.f.ppf(0.95, n1-1, n2-1)      # 右尾 α=0.05
pval = 1 - stats.f.cdf(F, n1-1, n2-1)
print("F =", round(F, 3), " 臨界 F(0.05; 24,24) =", round(fcrit, 3))
print("右尾 p =", round(pval, 4))
print("結論：", "拒絕 H0" if F > fcrit else "不拒絕 H0")

# 倒數性質：F_0.95(7,10) 應等於 1 / F_0.05(10,7)
print("F_0.95(7,10) =", round(stats.f.ppf(0.05, 7, 10), 3),
      " 1/F_0.05(10,7) =", round(1/stats.f.ppf(0.95, 10, 7), 3))

小主題測驗卷 · 4 題（達 90% 放行）

Q1F₀.₉₅(8, 12) 等於下列何者？

1 / F₀.₀₅(12, 8)（自由度對調） 1 / F₀.₀₅(8, 12)（自由度不變） F₀.₀₅(8, 12)

1 / F₀.₀₅(12, 8)。左尾倒數，兩自由度對調。

Q2F 檢定研究的參數是？

變異數差 σ₁² − σ₂² 標準差差 σ₁ − σ₂ 變異數比值 σ₁²/σ₂²

比值 σ₁²/σ₂²。σ₁²=σ₂² ⟺ 比值 = 1。

Q3F = S₁²/S₂² 的自由度是？

(n₁, n₂) (n₁ − 1, n₂ − 1) n₁ + n₂ − 2

(n₁−1, n₂−1)。分子、分母各一個自由度。

Q4變異數比值的 95% 信賴區間「包含 1」代表？

拒絕 σ₁² = σ₂² 不拒絕 σ₁² = σ₂² 無法判斷

不拒絕。含 1 等價於雙尾不拒絕 σ₁²=σ₂²。

第 4 節兩母體比例差 Z 檢定 Difference of Proportions

先回想（細節在 PDF §6）

只有檢定 H₀: p₁ = p₂（p₀ = 0）才用聯合比例 p̂；p₀ ≠ 0 或求信賴區間時各自用 P̂ᵢ。

例題 11.9（右尾，p₀ = 0）

題目

同款沐浴香皂用兩種包裝設計上架。A 超市（鮮豔設計）n₁ = 904 位顧客中 X = 180 位購買；B 超市（簡約綠）n₂ = 1038 位中 Y = 155 位購買。α = 0.05，檢定鮮豔設計的購買比例是否高於簡約綠。

完整解法（八步驟）

檢定 p₁ > p₂（p₀ = 0）→ 用聯合比例 p̂ 算標準誤，右尾。

H₀：p₁ ≤ p₂
H₁：p₁ > p₂（右尾）
Z = (P̂₁ − P̂₂) / √(p̂(1−p̂)(1/n₁ + 1/n₂))，p̂ = (X+Y)/(n₁+n₂)
α = 0.05
R = { Z ≥ z₀.₀₅ = 1.645 }
代值：P̂₁ = 180/904 = 0.1991、P̂₂ = 155/1038 = 0.1493、p̂ = 335/1942 = 0.1725；Z = (0.1991 − 0.1493) / √(0.1725·0.8275·(1/904 + 1/1038)) = 2.90
2.90 ≥ 1.645 → Reject H₀
結論：有足夠證據說鮮豔包裝的購買比例顯著高於簡約綠。

若改檢定「高出超過 3%」（p₀ = 0.03），標準誤就不能用 p̂，要改用各自的 P̂₁、P̂₂（見 PDF §6 例 11.10）。

▶ 上手驗算聯合比例 Z 檢定

from scipy import stats
import math

x1, n1 = 180, 904
x2, n2 = 155, 1038
p1, p2 = x1/n1, x2/n2
phat = (x1 + x2) / (n1 + n2)               # 聯合比例（p0=0 才用）
se = math.sqrt(phat*(1-phat)*(1/n1 + 1/n2))
z = (p1 - p2) / se
zcrit = stats.norm.ppf(0.95)               # 右尾 α=0.05
pval = 1 - stats.norm.cdf(z)
print("P̂1 =", round(p1,4), " P̂2 =", round(p2,4), " p̂ =", round(phat,4))
print("z =", round(z,3), " 臨界 z(0.05) =", round(zcrit,3), " 右尾 p =", round(pval,4))
print("結論：", "拒絕 H0（鮮豔包裝較高）" if z > zcrit else "不拒絕 H0")

小主題測驗卷 · 4 題（達 90% 放行）

Q1檢定「p₁ − p₂ 是否超過 0.03」（p₀ = 0.03）時，標準誤要怎麼算？

用聯合比例 p̂ 用各自的 P̂₁、P̂₂ 兩者都可以

用各自 P̂ᵢ。p₀≠0 或求 CI 一律不合併。

Q2檢定 H₀: p₁ = p₂（p₀ = 0）時，標準誤用？

各自的 P̂₁、P̂₂ 聯合比例 p̂ 兩者都可以

聯合比例 p̂。p₀=0 時兩樣本來自同一 p，合併最有效率。

Q3兩比例差用常態近似的大樣本條件是？

n₁ + n₂ ≥ 30 n₁p₁ ≥ 5 即可四個 nᵢpᵢ、nᵢ(1−pᵢ) 皆 ≥ 5

四者皆 ≥ 5。否則常態近似不可靠。

Q4聯合比例 p̂ 的公式是？

(X + Y) / (n₁ + n₂) (P̂₁ + P̂₂) / 2 X / n₁ + Y / n₂

(X+Y)/(n₁+n₂)。兩樣本成功數合併除以總樣本數。

統計 第 11 章 · 題目示範與上手

例題 11.1（聯合 t，雙尾）

例題 11.2（非聯合 t，雙尾）

例題 11.5／11.6（右尾 + 信賴區間）

例題 11.7（右尾）

例題 11.9（右尾，p₀ = 0）

統計第 11 章 · 題目示範與上手