變異數分析（一因子）

統計第 12 章 · 導覽投影片

One-Way Analysis of Variance

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導覽：建立地圖與框架。完整內容在 PDF 講義，例題解法在 index.html。

三件套怎麼用

檔案	角色	放什麼
PDF 講義	學習主體	完整內容、推導、所有例題
slides（本檔）	導覽	學習地圖、計算管線、招牌公式與易錯
index.html	題目示範 + 上手	例題八步驟完整解法 + scipy 驗算

路徑：本投影片建框架 → 讀 PDF 學重點 → 到 index 看完整解法並上手 → 回來下一個重點。

學習地圖：ANOVA 在解決什麼

一句話：比較三個以上母體平均數是否全相等。第 11 章只能比兩個；要比 ≥3 個用 ANOVA。

H₀：μ₁ = μ₂ = … = μ_k　vs　H₁：至少有一組 μᵢ ≠ μⱼ

核心想法：把總變異拆成「組間（處理間）」與「組內（誤差）」，若組間顯著大於組內 → 拒絕「全相等」。

本章只談一因子（單一分類因子）ANOVA。

計算管線：資料 → F → 決策

資料（k 組）
  │
  ├─ 組間：SSTR = Σ nᵢ(x̄ᵢ − x̄)²        df = k−1   → MSTR = SSTR/(k−1)
  ├─ 組內：SSE  = Σ (nᵢ−1)Sᵢ²           df = n−k   → MSE  = SSE/(n−k)
  └─ 總和：SST  = SSTR + SSE            df = n−1
            │
            ▼
        F = MSTR / MSE  ~  F(k−1, n−k)
            │
            ▼
   F ≥ F_α(k−1, n−k) ？ ── 是 → 拒絕 H₀（至少一組不同）
                          └ 否 → 不拒絕

共同骨架：檢定八步驟

(1) H₀：μ₁=…=μ_k　(2) H₁：至少一組不等
(3) 統計量 F = MSTR/MSE　(4) 定 α
(5) 拒絕域 R = { F ≥ F_α(k−1, n−k) }（右尾）
(6) 算 SSTR、SSE → MSTR、MSE → F（填 ANOVA 表）
(7) 比較下決策　(8) 白話結論

每個例題把八步＋ANOVA 表完整寫出來的地方：index.html。

招牌公式

SSTR = Σ nᵢ(x̄ᵢ − x̄)²，　SSE = Σ (nᵢ−1)Sᵢ²，　SST = SSTR + SSE

MSTR = SSTR/(k−1)，　MSE = SSE/(n−k)，　F = MSTR/MSE ~ F(k−1, n−k)

考點MSTR、MSE 都是共同 σ² 的估計；F 是兩者之比。

完整內容＋推導：PDF §2–§3　·　題目完整解法＋上手：index 第 1 節

ANOVA 表（必背版型）

變異來源	SS	df	MS	F
組間（處理）	SSTR	k−1	MSTR=SSTR/(k−1)	F=MSTR/MSE
組內（誤差）	SSE	n−k	MSE=SSE/(n−k)	F=MSTR/MSE
總和	SST	n−1

填表口訣：先填 SS 與 df，MS = SS/df，F = MSTR/MSE。

前提與判讀

三前提：各母體常態 · 變異數未知但相等 · 樣本獨立
右尾：F 偏大才拒絕；F 小代表組間差異比組內還小
易錯不能用多次 t 檢定取代（會累積放大型一誤差 α）
常態不成立 → 改無母數 Kruskal–Wallis；k=2 時 ANOVA = 聯合 t（F=t²）

完整判讀：PDF §6 易錯點　·　概念測驗：index 第 2 節

易錯總表

主題	陷阱
方向	一律右尾 R={F≥F_α(k−1,n−k)}
自由度	分子 k−1、分母 n−k，別對調
SSE	用 Σ(nᵢ−1)Sᵢ²，不是 ΣnᵢSᵢ²
多重比較	拒絕只說「至少一組不同」，不指明哪組
取代	勿用多次 t（放大 α）；非常態用 Kruskal–Wallis

看完導覽，接著動手

1. 已有計算管線、ANOVA 表版型與招牌公式 + 易錯。
2. 讀 PDF 學完整推導與兩個例題。
3. 打開 index.html → 看例題八步驟完整解法，改數字用 scipy 重跑。
4. 最後用 Quizlet 記憶卡主動回憶。

導覽結束

Per aspera ad astra

完整內容 → PDF 講義　·　題目解法與上手 → index.html　·　複習 → Quizlet