簡單線性迴歸

統計第 14 章 · 導覽投影片

Simple Linear Regression & Correlation

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導覽：建立地圖與框架。完整內容在 PDF 講義，例題解法在 index.html。

三件套怎麼用

檔案	角色	放什麼
PDF 講義	學習主體	完整內容、推導、所有例題
slides（本檔）	導覽	學習地圖、計算管線、招牌公式與易錯
index.html	題目示範 + 上手	例題八步驟完整解法 + scipy 驗算

路徑：本投影片建框架 → 讀 PDF 學重點 → 到 index 看完整解法並上手 → 回來下一個重點。

學習地圖：用 x 預測 y

一句話：用一個自變數 x 預測一個應變數 y。

母體模型：y = β₀ + β₁x + ε，　ε ~ N(0, σ²)

三個步驟：① 配適（最小平方求 b₀、b₁）→ ② 評估（S_e、R²）→ ③ 推論（對斜率 β₁ 的 t 檢定）。

相關 r 衡量線性「強度與方向」；迴歸用來「預測」。

計算管線：資料 → 迴歸線 → 檢定

資料 (xᵢ, yᵢ)
  │  S_xy = Σxy − (Σx)(Σy)/n      S_xx = Σx² − (Σx)²/n      S_yy = Σy² − (Σy)²/n
  ▼
配適：b₁ = S_xy/S_xx，  b₀ = ȳ − b₁x̄   →   ŷ = b₀ + b₁x
  ▼
評估：SSE = S_yy − S_xy²/S_xx
      S_e = √(SSE/(n−2))            R² = S_xy²/(S_xx·S_yy) = r²
  ▼
推論：T = (b₁ − 0)/(S_e/√S_xx) ~ t_(n−2)
      |T| ≥ t_(α/2, n−2) ？ ── 是 → 拒絕 β₁=0（有線性關係）

共同骨架：斜率檢定八步驟

(1) H₀：β₁=0　(2) H₁：β₁≠0（檢定有無線性關係）
(3) 統計量 T=(b₁−0)/(S_e/√S_xx)　(4) 定 α
(5) R = { |T| ≥ t_(α/2, n−2) }　自由度 n−2
(6) 算 S_xy、S_xx → b₁；SSE → S_e → T
(7) 比較下決策　(8) 白話結論

每個例題把八步＋迴歸線完整寫出來的地方：index.html。

招牌公式

b₁ = S_xy/S_xx，　b₀ = ȳ − b₁x̄，　ŷ = b₀ + b₁x

SSE = S_yy − S_xy²/S_xx，　S_e = √(SSE/(n−2))

R² = SSR/SST = S_xy²/(S_xx·S_yy) = r²，　T = (b₁−β₁₀)/(S_e/√S_xx)

完整內容＋推導：PDF §2–§4　·　題目完整解法＋上手：index

評估模型的三個工具

工具	看什麼	判讀
估計標準誤 S_e	√(SSE/(n−2))	越小配適越好
判定係數 R²	SSR/SST = r²	越接近 1 解釋力越強
斜率 t 檢定	β₁ 是否為 0	拒絕＝有顯著線性關係

考點R²=r²；自由度 n−2。易錯R² 高 ≠ 因果。

推論要點與誤差條件

「有沒有線性關係」＝雙尾檢定 H₀:β₁=0；拒絕才可用迴歸線預測
β₁ 信賴區間：b₁ ± t_(α/2,n−2)·S_e/√S_xx
誤差四條件：ε 常態、E(ε)=0、等變異（σ 固定）、各誤差獨立
易錯外推（超出 x 範圍）的預測風險高

例：年資×獎金 T=1.96 不拒絕；二手車 T=−13.45 拒絕（index）

易錯總表

主題	陷阱
自由度	S_e 與斜率 t 檢定皆 n−2（非 n−1）
線性關係	＝檢定 β₁=0；不顯著就別用線預測
R²	=r²；高不代表因果
SSE	用 S_yy − S_xy²/S_xx 快算
外推	超出 x 觀測範圍預測風險高

看完導覽，接著動手

1. 已有計算管線、三評估工具與招牌公式 + 易錯。
2. 讀 PDF 學最小平方推導與例題。
3. 打開 index.html → 看例題八步驟完整解法，改數字用 scipy.stats.linregress 重跑。
4. 最後用 Quizlet 記憶卡主動回憶。

導覽結束 · 全章完

Per aspera ad astra

完整內容 → PDF 講義　·　題目解法與上手 → index.html　·　複習 → Quizlet